Eine Sprache kann ihre eigene Semantik nicht vollständig wiedergeben (Alfred Tarski)

Die Tatsache, dass die völlig korrekte Verwendung einfacher Umgangssprache zu einem offensichtlichen Widerspruch führt, zeigt, dass eine Sprache wie Deutsch oder Englisch ihre eigene Semantik nicht vollständig wiedergeben kann. Alfred Tarski zeigte schließlich, dass keine logisch konsistente Sprache in dieser Weise semantisch vollständig sein kann. Man kann sich also eine Hierarchie von Sprachen vorstellen, von denen jede widerspruchsfrei ist, keine aber reich genug, ihre gesamte Semantik zu enthalten. Vollständigkeit erfordert eine reichere übergreifende Sprache, die ihrerseits eine weitere braucht, in der sich ihre gesamte Semantik ausdrücken lässt, und so weiter ad infinitum. Diese übergreifenden Sprachen sind Metasprachen der Sprachen, die sie umfassen. …

Alfred Tarski führte Gödels Überlegungen etwas weiter, indem er zeigte, dass logische Systeme auch semantsich unvollständig sind. Er zeigte, dass der Begriff Wahrheit innerhalb eines widerspruchsfreien mathematischen Systems nicht definierbar ist, wobei der Begriff der Wahrheit der Gesamtheit aller wahren Sätze des Systems entspricht. Es gibt also Begriffe, die sich innerhalb des Rahmens einiger formaler Systeme nicht einfach definieren lassen. Das Ergebnis dieser Entdeckung ist, dass logische und mathematische Systeme, die sich genug sind, die Arithmetik zu umfassen, nicht nur in dem Sinn formal unvollständig sind, dass einige ihrer Wahrheiten unter Verwendung der Paraphernalia des Systems unbeweisbar sind; vielmehr sind sie auch semantisch unvollständig in dem Sinn, dass einige ihrer Begriffe sich unter Benutzung der Sprache und Begriffe des Systems nicht definieren lassen. Man kann sie immer definieren, wenn man ein größeres System verwendet, aber das geht nur auf Kosten der Erschaffung weiterer undefinierbarer Begriffe innerhalb des größeren Systems. Es gibt also kein formales System, in dem sich die Wahrheit aller mathematischen Aussagen entscheiden lässt oder in dem alle mathematischen Begriffe definiert werden können.

Quelle: Ein Himmel voller Zahlen. Auf den Spuren mathematischer Wahrheit

Semantische Theorie der Wahrheit

 

Dieser Beitrag wurde unter Einige interessante Beiträge aus Philosophie und Wissenschaft veröffentlicht. Setze ein Lesezeichen auf den Permalink.